Ключевые слова
Алгебры Ли операторов; инварианты, смешанные комитанты, контраварианты и кова-рианты трехмерных дифференциальных систем; GL(3,R)− орбита; инвариантный GL(3,R)-интеграл; функциональный базис центроаффинных инвариантов и комитантов; интегри-рующий множитель дифференциальной системы, дифференциальная система типа Дарбу,частные интегралы
Аннотация
В диссертации рассматривается система вида
dxj/dt=Xk2A aj j1j2...jkxj1xj2...xjk (j, j1, j2, ..., jk = 1, 3), (1)
где коэффициентные тензоры а?-- (& Е А) - симметричны по нижним индексам, по которым здесь производится полное свертывание (суммирование), А является некоторым конечным множеством целых различных неотрицательных чисел.
Работа посвящена приложению алгебр Ли операторов, смешанных комитантов и теории орбит в исследовании систем вида (1). Получены определяющие уравнения для п-мерных полиномиальных дифференциальных систем. С их помощью показано, что алгебра Ли операторов Ьд, связанной с центроаффинной группой С*Ь(3, К) допускается системой (1) и доказан критерий инвариантности для инвариантов и смешанных комитантов трехмерной дифференциальной системы относительно этой группы. Доказана теорема Ли об интегрирующем множителе для трехмерных полиномиальных дифференциальных систем и показана ее связь с уравнениями Пфаффа. Для систем вида (1) с А = {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2} получены функциональные базисы центроаффинных инвариантов. Исследованы базисы центроаффинных комитантов, контравариантов, ковариантов низших степеней для системы вида (1)сА = {1), {0,1}, {2}, {1,2}. Были сформулированы в некоторых случаях необходимые и достаточные инвариантные условия (ИткО(а) = 9 в классификации С*Ь(3, К)— орбит аффинной системы (1) при А = {0, 1}. Полностью проведена классификация ОЬ(3,Ж) — орбит для линейной системы (1) при А = {!}. Получены алгебры Ли операторов, допускаемые каноническими видами линейной, аффинной дифференциальной системой и системой типа Дарбу и с помощью этих алгебр и теоремы Ли об интегрирующем множителе в трехмерном случае получены первые интегралы для этих системы на СЬ(3, К) — орбитах максимальной размерности, а также некоторые инвариантные выражения СЬ(3, К) — интегралов. В общем случае получены инвариантные частные СЬ(3,Ж) — интегралы этих систем на С*Ь(3, К)— орбитах максимальной размерности 9. Рассмотрены наличие у трехмерной дифференциальной системы типа Дарбу с квадратичными нелинейностями линейных частных интегралов. Исследованы алгебраические инвариантные частные С*Ь(3, К)— интегралы трехмерной дифференциальной системы типа Дарбу с кубическими нелинейностями.
Содержание
ГЛАВА I. Однопараметрические непрерывные группы элементарных преобразований и операторы их представления в пространстве коэффициентов трехмерных полиномиальных дифференциальных систем. Теорема Ли об интегрирующем множителе для указанных систем
- 1. Основные определения и обозначения
- 2. Однопараметрические непрерывные группы элементарных преобразований и их связь с группой многопараметрических преобразований -GL(n,R)
- 3. Операторы представления элементарных групп преобразований в пространстве коэффициентов трехмерной полной квадратичной дифференциальной системы
- 4. Определяющие уравнения для n−мерных полиномиальных дифференциальных систем
- 5. Алгебра Ли операторов L9, допускаемой трехмерной полной квадратичной дифференциальной системой и некоторые ее характеристики (форма Киллинга, тип алгебры Ли L9, специальные подалгебры Ли L4)
- 6. Определение смешанного комитанта для n−мерной полиномиальной дифференциальной системы относительно группы GL(n,R) и критерий инвариантности в случае трехмерной полной квадратичной дифференциальной системы
- 7. Теорема Ли об интегрирующем множителе для трехмерных полиномиальных дифференциальных систем и ее связь с уравнениями Пфаффа
- 8. Комментарии к первой главе
ГЛАВА II. Размерности GL(3,R)− орбит для трехмерных аффинных дифференциальных систем и их инвариантные GL(3,R)− интегралы
- 9. Об одном необходимом инвариантном условии dimRO(a) ∈ {9, 8} в классификации GL(3,R)-орбит системы (6.13)
- 10. Канонический вид для дифференциальной системы (6.13) при 4 6≡ 0
- 11. Необходимые и достаточные инвариантные условия dimRO(a) = 9 в классификации GL(3,R)− орбит системы (6.13)
- 12. Классификация размерностей GL(3,R)− орбит для линейной дифференциальной системы и системы с постоянными правыми частями
- 13. Размерности GL(3,R)−орбит для системы (6.13) при 4 6≡ 0 и ≡ 0
- 14. Об отсуствии GL(3,R)− орбит размерности 2 и 1 для системы (6.13)
- 15. О существовании GL(3,R)-орбит системы (6.13) при 4 ≡ 0 только размерности 7, 6, 5, 4, 3, 0
- 16. Алгебры Ли операторов, допускаемые каноническими дифференциальными системами (10.3) и (10.4)
- 17. Первые интегралы дифференциальных систем (10.3), (10.4) и (12.4)
- 18. Инвариантные выражения первых GL(3,R)− интегралов системы (6.13) на GL(3,R)-орбитах максимальной размерности
- 19. Об одном частном инвариантном GL(3,R)−интеграле системы (6.13) при 4 6≡ 0
- 20. Комментарии ко второй главе
ГЛАВА III. Трехмерные квадратичные дифференциальные системы и системы типа Дарбу с квадратичными и кубическими нелинейностями
- 21. Об отсуствии GL(3,R)− орбит размерности 2 и 1 для полной квадратичной дифференциальной системы
- 22. О комитантах и контравариантах низших степеней системы (21.10) при группе GL(3,R)
- 23. Функциональные базисы центроаффинных инвариантов для трехмерных квадратичных дифференциальных систем
- 24. О максимальной размерности GL(3,R)-орбит для трехмерной дифференциальной системы с кадратичными нелинейностями при ≡ 0 и 4 6≡ 0. Трехмерная система типа Дарбу
- 25. Алгебры Ли операторов, допускаемые трехмерной системой типа Дарбу
- 26. Первые интегралы трехмерной дифференциальной системы типа Дарбу
- 27. Инвариантные выражения GL(3,R)- интегрирующего множителя и частных GL(3,R)- интегралов трехмерной системы с квадратичными нелинейностями при ≡ 0
- 28. Однородные линейные частные интегралы для трехмерной дифференциальной системы типа Дарбу c квадратичными нелинейностями
- 29. О параллельности инвариантных плоскостей дифференциальной системы (24.5) при l=/ 0
- 30. Трехмерная система с кубическими нелинейностями при 1 ≡ 0 и алгебра Ли операторов допускаемая этой системой
- 31. Комментарии к третьей главе